(고등수학) 원과 직선과의 위치관계

 

원과 직선과의 위치관계를 알기위해서는 좌표평면을 이용하면 된다.

(수직선과 좌표평면 등을 이용하여 도형을 파악하는 것을 해석기하학이라 한다.)

원의 기본 형태는 x²+y² = r² 이고선의 기본 형태는 y = ax+b 이다.

원이 선과 닿았는지 닿지 않았는지 알기위해서는 둘이 겹치는지 보면된다.

같은 y의 위치를 가지고 있는다고 보았을 때 근이 있는지 보면 되는 것이다.

근이 있다면 서로가 만나는 공통의 근을 가지고 있다는 것이다.

x²+y²=r² (원)에 y=ax+b를 대입한다.  y의 값에 넣는 것이다. x²+(ax+b)²=r²의 형태가 된다.

이 식을 풀어주면 x²+a²x²+2axb+b²=r²이 되고 간단히하면(1+a²)x²+2abx+b²=r²이 된다.

 x에 대한 이차방정식이 되는 것이다. 이 이차방정식의 근이 있는지 없는지를 알려면 판별식을 활용하면 된다.

이 판별식을 이용하여 원과 직선이 만나는지 접하는지 만나지 않는지 알 수 있는 것이다. 만난다는 것은 지난다는 것이고 두 개의 근이 있다는 것이다. 접한다는 것은 한 점에서 만난다는 것이고 근이 중근이라는 것이다.(근이 하나 있다는 것과 중근은 다르다 근이 여러개 있는데 같은 근인 것이 중근이다. 중복되는 근인 것이다.) 만나지 않는다는 것은 근이 없다는 것이다.

이차방정식의 판별식을 활용하면 근이 있는지 없는지 알 수 있다. 

이차방정식 ax²+bx+c = 0 에서판별식 = b²-4acx의 계수가 짝수일 경우 = b′-ac b′ = b/2판별식이 0보다 크면 근이 두개 있다는 것이고 판별식이 0과 같으면 중근이고 판별식이 0보다 작으면 허근이 나오므로 근이 없다는 것이다.

근의 공식을 살펴보면 쉽게 알 수 있다.근의 공식 = b±√b²-4ac/2a 이다. 여기서 √ 안을 살펴보자√ 안에 b²-4ac가 있다 판별식의 형태와 같은 것이다.b²-4ac의 값이 근을 결정하는 것이다 0보다 크면 근이 두개이고 0이면 중근이며 0보다 작으면 근이 없는 것이다. (0보다 작을때는 허근이 나온다.)

정리해 보면b²-4ac > 0 근이 두개이다.b²-4ac = 0 중근이다.b²-4ac < 0 근이 없다.이를 이용하여 이차방정식의 형태가 된 원과 직선과의 위치관계를 알아볼 수 있다.b²-4ac의 근이 두개이면 두 점에서 만나는 것이다. 중근이면 접하는 것이고근이 없다는 것은 만나지 않는 것이다.(그림을 넣고 싶지만 방법을 잘 모르겠네요. 수학 도형 그림...)

부등식

부등식이란 대소 관계를 나타내는 것이다. <>≤≥ (≤≥의 밑에 짝대기는 등호(=)이다.)

 부등식은 실수들의 대소 관계를 나타낸다. 실수와 허수, 허수와 허수사이에는 나타낼수 없다.

일차 부등식 이차 부등식 등이 있다.

일차 부등식은 ax+b>0 의 형태를 나타낸다.여기서 x 앞에 계수 a의 부호에 주의한다. a의 부호가 +이냐 -이냐에 따라서 부등호의 방향이 달라지는 것이다. 부등식을 푼다는 것은 x의 값 또는 범위를 구한다는 것이다. (x의 값을 구한다는 것은 x=a 의 값이 나올 수 있다는 것이다. 범위가 아닌 값 하나가 나오는 경우가 있다.)

 일차부등식을 풀어 보자. ax>-b이다. a가 양수일 경우 (a>0) x>-b/a 이다. a가 음수일 경우 (a<0) x<-b/a이다. 부등호 방향이 바뀐다. a가 양수일 경우 음수일 경우 두 가지로 나누어 보는 것이다.

 정리하면ⅰ) x>-b/a (a>0) ⅱ) x<-b/a (a<0) 이렇게 되는 것이다. 

일차 부등식에서는 이를 주의하여야 한다.


(본 글에는 틀린 부분이 있을 수 있으며 알려주시면 수정하겠습니다.)