[수리물리학 이야기] Chapter 8. 물리학에서 자주 접하는 미분 방정식

hunhani (65)in #kr • 7 years ago (edited)

안녕하세요. 훈하니 @hunhani입니다.

@beoped 님과 @yurizard 님께 자극을 받고 저도 기초적인 수리물리 내용의 포스팅을 도전해보기로 마음먹었습니다. 두 분에 비하면 한참 못 미칠 내용 혹은 이미 중복된 내용을 다룰 수도 있겠지만 애교로 봐주시겠죠? 그동안의 다른 물리학 시리즈와 달리 어쩔 수 없이 수식을 포함해 설명할 수밖에 없고 그렇다고 모든 개념을 풀어 전해드리기에는 내용이 방대합니다. 때문에 수식이 왜 이렇게 표현되고 어떻게 도출되는지 수학적으로 파고드는 것은 일반인 입장에서 글 내용을 더 어렵게 느끼게 만들 것 같더군요. 따라서 해당 수식이 결과론적으로 어떤 의미를 지니는지 어떻게 사용되는지 등에 초점을 맞춰 작성하도록 하겠습니다.

대문을 제작해주신 @leesol 님께 감사드립니다.

(1) 시간 의존 파동 방정식

일반적인 파동을 다루는 2차 편미분 방정식입니다. 음파와 전자기파, 수면파 등을 다루기 위하여 음향학, 전자기학, 유체역학 등 물리학의 여러 분야에 등장합니다. 양자역학의 등장으로 입자의 존재는 확률로 기술되고 그 확률은 파동처럼 행동한다는 것이 알려진 이후, 슈뢰딩거 방정식이 탄생하기도 했지요.

(2) 헬름홀츠 (Helmholtz) 방정식 (시간 비의존 파동 방정식)

시간 의존 파동 방정식에서 변수분리를 거쳐 시간에 대해 독립적으로 공간에 대한 풀이로만 관련시킨 2차 편미분 방정식입니다. 시간에 무관한 형태로 풀어냈기 때문에 현의 진동, 얇은 막의 진동, 음파, 전자파, 수면파, 양자상태 등의 정상상태를 기술할 수 있습니다.

(3) 푸아송 (Poisson) 방정식, 라플라스 (Laplace) 방정식

고유값이 0인 라플라스 연산자의 고유함수가 만족시키는 2차 편미분 방정식입니다. 전자기학에서 전하의 분포에 의한 전기장 및 전위 계산 혹은 천문학에서 천체의 분포에 의한 중력장 및 퍼텐셜 계산 등에 쓰입니다. 라플라스 방정식의 해를 조화함수라고도 하죠. 푸아송 방정식은 라플라스 방정식을 일반화한 것입니다. 반대로 라플라스 방정식이 푸아송 방정식의 특수한 경우에 해당한다고 볼 수 있지요.

(4) 확산 (Diffusion) 방정식

마르코프 연쇄 및 브라운 운동과 연관되어 열역학에서 열 확산 과정은 물론 각 미세 입자의 무작위 운동으로 인한 물질에서의 미세 입자의 집단 거동을 기술합니다.

(5) 슈뢰딩거 (Schrödinger) 방정식

비상대론적 양자역학적 계의 시간에 따른 진화를 나타내는 선형 2차 편미분 방정식입니다. 고전 해밀턴 역학의 해밀토니안을 양자화하여 표현한 것으로 에너지와 운동량을 양자역학적 연산자로 대치하여 얻어낼 수 있습니다. 입자의 존재를 기술하는 존재 확률은 시간에 따라 변화하며, 변화하는 양상은 파동의 그것과 비슷하여 양자역학에서 입자의 상태를 기술하는 양식이 슈뢰딩거 방정식이 됩니다. 슈뢰딩거 방정식은 그 자체로 파동 방정식이므로 시간 의존 및 시간 비의존 두 가지 형태로 표현할 수 있습니다. 기존에 알고 있던 뉴턴역학(고전역학)과 다르게 슈뢰딩거 방정식으로부터 알 수 있는 입자의 여러 가지 물리량이 띄엄띄엄한 값을 갖고 있는 경우가 많습니다. 이 때문에 덩어리지어진 것을 뜻하는 양자라는 용어를 사용하여 이러한 이론체계를 양자역학이라 부르는 것입니다. 대상이 우리 일상생활에서 접할 수 있는 정도의 크기가 되면 그러한 양자역학적인 효과는 거의 나타나지 않아 고전역학으로도 충분히 기술될 수 있지만 눈에 보이지 않는 미시세계로 가면 양자역학적 효과가 지배적으로 나타납니다. 그렇다고 고전역학과 양자역학이 서로 연관이 없는 것은 결코 아닙니다. 거시적인 현상을 잘 설명할 수 있었던 기존의 고전역학은 양자역학의 한 근사 형태로 볼 수 있습니다. 즉, 양자역학의 특정 조건에서 근사를 사용하면 고전역학의 효과가 나타나는 것이죠. 따라서 고전역학의 이론체계는 양자역학을 새로이 구성하는 출발이 된다고 할 수 있겠습니다.

(6) 클라인-고든 (Klein-Gordon) 방정식

양자장론에서 스칼라 장을 다루는 질량-에너지 등가성을 포함한 상대론적 파동 방정식입니다. 즉, 특수 상대성 이론의 질량-에너지 등가성을 양자역학적으로 기술한 것이라고 할 수 있습니다. 다른 모든 상대론적 파동 방정식의 기본을 이루는 방정식입니다. 예를 들어, 스핀 1/2의 디락 방정식 혹은 스핀 1의 프로카 방정식 모두 클라인-고든 방정식의 특수한 경우에 해당합니다. 따라서 모든 디락 방정식 및 프로카 방정식 해는 클라인-고든 방정식을 만족하지요. 물론, 그 역은 성립하지 않지만요. 참고로 클라인-고든 방정식을 따르는 장은 슈뢰딩거 방정식처럼 단일 입자의 확률 진폭으로 해석할 수 없습니다. 시간에 대한 2차 편미분 방정식이라서 그 자체로 음의 에너지 의미를 내포하고 있고 또한 확률 흐름을 보존하지 않기 때문인데요. 다만, 시간에 대해 앞뒤로 전파하는 입자에 대한 기술이라고 해석할 수 있습니다. 힉스 입자 혹은 다른 스칼라 및 유사 스칼라 기본 입자 (초대칭에서 등장하는 여러 입자) 혹은 스핀 0의 복합 입자 (스칼라 중간자 따위)를 다룰 때 유용하게 사용됩니다.

(7) 코르테버흐-더프리스 (Korteweg-de Vries) 방정식

솔리톤(Soliton)의 운동을 기술하는 비선형 방정식입니다. 솔리톤이란 에너지가 집중되어 안정한 덩어리로서 전파되어 가는 비선형적 파동을 뜻하며 솔리톤은 공간적으로 고립하여 심지어 충돌이 발생해도 파형이 부서지는 일 없이 안정적으로 전파합니다. 대표적으로 옅은 수면파를 나타낼 때 이 방정식이 사용됩니다.

(8) 나비에-스토크스 (Navier-Stokes) 방정식

점성을 가진 유체의 운동을 기술하는 비선형 편미분 방정식입니다. 날씨 모델, 해류, 관에서 유체 흐름, 날개 주변의 유체 흐름, 그리고 은하에서 별들의 움직임을 설명하는데 쓰일 수 있으며 실제로 항공기나 자동차 설계, 혈관 내의 혈류, 오염 물질의 확산 등을 연구하는데 사용되고 있답니다. 나이베-스토크스 방정식은 매우 광범위하게 사용되고 있지만 아직 3차원 강해가 항상 존재한다는 것을 증명하지 못했습니다. 2000년 클레이 수학연구소(CMI)가 정한, 21세기 사회에 가장 크게 공헌할 수 있지만 아직까지 풀리지 않은 미해결 문제 (소위 말하는 밀레니엄 문제로 각 문제 당 1,000,000 달러의 상금이 걸려있습니다.) 7가지 중 하나가 바로 3차원에서 나비에-스토크스 방정식의 강해가 존재하거나 혹은 유한 시간 안에 폭발하는 해가 존재함을 보이는 것이랍니다.