OPERADORES CASINILPOTENTES II
Operadores Casinilpotentes y vectores minimales
Sea X un espacio de Banach real reflexivo y T:X→X un operador acotado. Un operador T es casinilpotente si limn→+∞||Tn||1/n=0. Un operador T se dice de rango denso, si T(X)―=X (la barra indica la clausura en su topología).
Veamos que si T es cansinilpotente y de rango denso, entonces Tn es casinilpotente de rango denso, para cada número natural n.
En efecto
||(Tn)m||1/m=(||Tnm||1/nm)n
y como ||Tm||1/m→0, si m→+∞
deducimos que ||Tnm||1/nm→0, lo que prueba lo afirmado.Para ver que Tn es de rango denso, suponemos que n=2, luego
T(T(X)―)⊆(T2(X))― y por lo tanto T(X)⊆(T2(X))― y tomando clausura, T(X)―=X⊆(T2(X))― , de lo que se deduce que T2 es de rango denso. La prueba en general se sigue por inducción.
Ahora consideremos x 0∈X y un número real no negativo ε con ε <||x0||. Por B(x0,ε)={y∈X: ||y−x0||≤ε}, denotamos la bola cerrada de centro x0 y radio ε.
Sea K=T−1(B(x0,ε)).
Veamos que si T es e rango denso, entonces K ≠ ∅. En efecto, sabemos que T(X)―=X , luego existe un T(y) tal que ||T(y)−x0||< ε, luego y∈K.
Es claro que 0∉K, de lo contrario ||0−x0||=||x0||< ε, lo que contradice la elección de ε.
Sea ahora d=inf{||z||: z∈K}. Un z∈K tal que ||z||=d, se dice que z es un vector minimal para (x0, ε, K) .
Veamos que si X es un espacio de Banach real reflexivo y T:X→X es un operador acotado y de rango denso, entonces existen vectores minimales para (x0, ε, K) . En efecto dado z0∈ K con ε ≤ ‖z0‖, si ‖z0‖=d el resultado se sigue. De lo contrario consideremos el conjunto A={z ∈ K: ‖z‖ ≤ ‖z0‖}. Es claro que A es cerrado , convexo y acotado, entonces A es débilmente compacto, y al ser convexo y débilmente compacto, entonces es compacto en la topología de la norma. Sea g(z)=||z||, ‖z‖,∀ z ∈A. Se deduce que g tiene un mínimo en A y prueba lo afirmado.
Veamos ahora que si z0, es un vector minimal para (x0, ε, K), entonces ||T(z0)−x0||=ε, es decir T(z0) pertenece a la esfera S(x0,ε). De lo contrario ||T(z0)−x0||< ε. Dada la sucesión z = T(1/nz0), es claro que para n>2, (1/n)z0∉K. Es decir ||T((1/n)z0)−x0||>ε. Pasando al límite, llegamos a que ||x0||≥ε, lo que es contradictorio.
Es claro que B(0, d) ∩ K es el conjunto de todos los vectores minimales para (x0, ε ,K). Sea ahora la bola abierta B0(x0,ε)= {z ∈ X: ‖z−x0‖<ε }. Por lo estudiado anteriormente B0(x0,ε)∩ T(B(0, d)) = ∅, y como ambos conjuntos son convexos y B0(x0,ε) es abierto, entonces existe un funcional f unitario y una constante c > 0, tal que f(z) ≤ c, ∀ z ∈ T(B(0, d)) y f(z) ≥ c, ∀ z ∈ B0(x0,ε). Se dice que f es una funcional minimal para (x0,ε,K) .
Sea ahora f una funcional minimal para (x0,ε,K) . Veamos que f(x0) ≥ε. En efecto, para cada vector z con ||z|| = 1, es claro que x0 − εz ∈ B(x0, ε), por lo tanto f(x0− εz) ≥ c, es decir f(x0) ≥ c + εf(x). Como||f|| = sup||x||=1|f(x)|, podemos hallar vectores unitarios xn, tales que f(xn) →||f||, se deduce que f(x0) ≥ c + ε||f|| ≥ ε. Probemos que el hiperplano T*f=c separa K de B(0, d). Sea z ∈ B(0, d), luego T*f(z) = f(T(z)) ≤ c. Ahora, si z ∈ K, entonces T(z) ∈ B(x0, ε), luego T*f(z)=f(T(z)) ≥ c. Vamos a demostrar que ||T*f|| =c/d. Para cada||z|| ≤ 1 obtenemos que ||d ∙ z|| ≤ d, por lo tanto T*f(d ∙ z) ≤ c y T*f(z) ≤c/d, es decir ||T*f|| ≤c/d. Por otro lado, para cada δ > 0, existe un z ∈ K con ||z||< δ + d, entonces T*f(z)≥ c ≥c/(δ+d) ||z||, por lo tanto || T*f||≥c/(δ+d), de lo que se deduce lo afirmado. Observemos también que para todo z, T*f(z) ≥ c = d ∙ ||T*f||.
Resultado principal
El siguiente es el principal resultado de estas notas:Sea X un espacio de Banach reflexivo y T:X→X un operador casinilpotente, inyectivo y de rango denso. Sea B una bola cerrada con 0 ∉ B, tal que para una sucesión xn ∈ B, existen Tk operadores acotados que conmutan con T con ||Tk|| ≤1, y una subsucesión xn k, tales que Tk(xn k)→ w para algún vector w ≠0. Entonces T tiene subespacios Hiperinvariantes no triviales.
Fijemos un vector no nulo x0 y ε ∈ (0, ||x0||), de forma tal que B(x0, ε) ⊂ B. Es claro que cada operador potencia Tn es casinilpotente , inyectivo y de rango denso. En Kn=(Tn)−1(B(x0, ε)) seleccionamos un vector minimal yn y una funcional unitaria minimal fn para (x0, ε,Kn) .
Vamos a demostrar que existe una subsucesión yn k tal que ||yn k−1||/ ||yn k||→ 0. De lo contrario contrario, existe un δ > 0, tal que ||yn−1||/ ||yn ||> δ, ∀ n ≥ 1. Tenemos que Tn(yn+1)∈ T−1B(x0, ε), esto dice que ||Tn(yn+1)||≥ ||y1 ||≥δn ||yn+1 || y tomando raíz n −ésima y pasando al límite deducimos que δ = 0, lo que es contradictorio. Como cada ||fn || = 1, existe un funcional g con ||g|| ≤ 1, tal que fn (x)→g(x), ∀ x ∈ X. Al ser fn (x0 ) ≥ ε, deducimos que g(x0 ) ≥ ε. Esto asegura que g es un funcional no nulo.
Como Tn(yn)∈ B(x0, ε), existen Tk operadores acotados que conmutan con T con ||Tk|| ≤1 y una subsucesión yn k tales que, Tk(yn k)→ w para algún vector w ≠0. Sea M ={F(T(w):F es un operador acotado en X que conmuta con T}. Es claro que M es una variedad lineal invariante para T, es más es una variedad lineal invariante para todo F que conmuta con T y T(w)∈M. Además por ser T inyectiva, T(w) ≠0. Veamos que M⊂Kerg.
Hemos visto que (Tnk) * (fnk)(yn k)> 0, ∀ k ≥1, luego
X=yn k⊕ ker(Tnk)* (fnk)
Por lo tanto Tk(yn k−1))=αk yn k+rk (rk∈ ker(Tnk)* (fnk)).
Vamos a demostrar que αk → 0.
Tenemos que (Tnk)* (fnk)( (Tk(yn k−1))=αk(Tnk)*(fnk)(yn k), luego
|| (Tnk)* (fnk)( Tk(yn k−1)||=|αk|||(Tnk)* (fnk)(yn k)||≥|αk||dk|||(Tnk)* (fnk)||.
Se deduce que |αk| ≤||F||||(yn k−1||/||(yn k||→0.
Por otro lado
|| (Tnk)*(fnk)( Tk(yn k−1)||≤|αk|||Tnk+1(yn k)||||(fn k||≤|αk|(||x 0+ε||→0, es decir
fnk Tnk(Tk(yn k−1))→0 y si F conmuta con T, fnk Tnk(FTk(yn k−1))→0
Se deduce que
fnk(FT(Tk Tnk−1(yn k−1)))→g(FT(w))=0.
Esto prueba que M⊂Kerg y por lo tanto M― es un subespacio invariante tanto para T, como para los operadores que conmutan con T. Es decir M― es un subespacio hiperinvariante para T.
Una aplicación
Sea X un espacio de Banach reflexivo y T:X→X un operador acotado casinilpotente, inyectivo y de rango denso. Sea F:X→X un operador acotado compacto y que conmuta con T. Entonces T tiene subespacios Hiperinvariantes no triviales.
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que ||F||=1. Existe x0 con ||x0||=1, tal que ||F(x0)||≠0, luego existe ε>0, tal que ||F(x)||> ε, para todo x ∈B(x0, ε) y 0 ∉ F(B(x0, ε)). Llamemos Tk= F, ∀ k ≥ 1. Sabemos que para cada sucesión {xn} ⊂ B(x0, ε), existe una subsucesión xnk tal que F(xnk)= Tk(xnk) converge a un w y como 0 ∉ K(B(x0, ε)), deducimos que w ≠ 0, se aplica el teorema anterior.
Nota
La aplicación anterior puede hacerse extensiva para X espacio de Banach complejo reflexivo, T:X→X un operador acotado casinilpotente, inyectivo y de rango denso y F:X→X un operador acotado compacto y que conmuta con T.
Par verlo, notemos primero que si X es un espacio de Banach reflexivo complejo, entonces X=X R visto como espacio de Banach real, es reflexivo. Sea φ∈(X R)**. Definamos φ^ (f)=φ(f)−iφ(f), para todo f∈ X * . Es claro que φ^ ∈ X ** , luego existe x∈X, tal que φ^ (f)=f(x)=Ref(x)+iImf(x)=φ(f)−iφ(f), se deduce que φ(f)=Ref(x). Ahora supongamos que f∈(X R) * y g(z)=f(z)-if(iz), para todo z∈ X. Tenemos que g∈X * y por lo dicho anteriormente φ(g)=Reg(x)=f(x).
Ahora los operadores TR=T, FR=F, visto como operadores sobre X R cumplen las hipótesis del resultado principal, luego existe un subespacio real M hiperinvariante para TR. Sea M^ =M ―X (clausura en el espacio de banach complejo X). Como M es invariante para TR=T, se deduce que M^ =M ―X es invariante para T. Es inmediato ver que es invariante para cada operador acotado en X, que conmuta con T.
Referencias
Jaime Bravo (2007): Operadores casi nilpotentes y subespacios invariantes. Departamento de Matemáticas. Facultad Experimental de Ciencias. Universidad del Zulia.
Vladimir G. Troitski (2003): Minimal Vector in Arbitrary Banach Space. University of Alberta. Canada.