Por las sucesiones reales acotadas, entenderemos el espacio de Banach

Rel_∞ (Z⁺)={(x_n )⊂ R: ||(x_n )||_∞ <∞}
Sea f=(i₁ ,i₂ ,...,i_n ) (i_k ∈N)


Definamos la función P_f :Rel_∞ (Z⁺)→R, mediante


P_f ((x_m ))=sup_{1≤k < ∞}1/nΣ_j=1 ⁿ x_k+ij .

Es fácil ver que P_f está bien definida.

Note realmente que

inf_{1≤m < ∞}{x_m }≤1/nΣ_j=1 ⁿ x_k+ij ≤sup_{1≤m < ∞}{x_m }.

Sea σ:{1,2,...,n }→{1,2,...,n } una permutación y σf=(i_σ(1) ,i_σ(2) ,...,i_σ(n) ). Es evidente que P_f =P_σf .

Si g==(i´₁ ,i´₂,...,i´_m ), vamos a demostrar que

P_{f +g}(x+y)≤ P_f (x)+ P_g (y), donde f+g es la nm tupla de números naturales i_j +i´_h con j=1,2,..,n y h=1,2,...,m. Ya hemos dicho que el orden en que aparezcan esos sumando en la nm tupla es indiferente. Tenemos que


1/nmΣ_j,h (x+y)_{k+ij +i´h} =1/nmΣ_j,h x_{k+ij +i´h} +1/nmΣ_j,h y_{k+ij +i´h} =


1/mΣ_h=1 ^m (1/nΣ_{j =1}ⁿ x+_{k+ij +i´h} )+1/nΣ_{j =1}ⁿ(1/mΣ_h=1^m x+_{k+ij +i´h} )≤


1/mΣ_h=1^m P_f (x)+1/nΣ_j=1ⁿ P_g (y)=P_f (x)+P_g (y).


Definamos ahora P:Rel_∞ (Z⁺)→R, mediante


P((x_m ))=inf_fP_f ((x_m )).


Vamos a demostrar que P es una seminorma.

Es claro que P(αx)=αP(x), para todo α≥0 y x∈Rel_∞ (Z⁺).


Veamos que P(x+y)≤P(x)+P(y). En efecto, dado ε>0, existe f una n tupla, tal que P_f (x)≤P(x)+ ε. De manera similar, existe una m tupla g, tal que P_g (y)≤P(y)+ ε. Sabemos por lo estudiando anteriormente, que P_{f +g}(x+y)≤ P_f (x)+ P_g (y)≤P(x)+ ε + P(y)+ ε, de lo que se deduce que P(x+y) ≤P(x)+ P(y)+2 ε y como ε es arbitrario, deducimos que P(x+y)≤P(x)+ P(y).

Por un versión del teorema de Hahn -Banach, existe una funcional lineal real continuo


L:Rel_∞ (Z⁺)→R, tal que L(x)≤P(x), para todo x∈Rel_∞ (Z⁺) .

A cualquier L que cumpla lo anterior se le llama un límite de Banach de Rel_∞ (Z⁺).

^{PROPIEDADES DE LOS LÍMITES DE BANACH}

(1) ||L||=1

Sabemos que L(x)≤P(x), para todo x∈Rel_∞ (Z⁺) y como cada P_f (x)≤||(x_n )||_∞ , deducimos que L(x)≤||(x_n )||_∞ . Por otro lado −L(x)=L(−x)≤P(−x)≤sup_{1≤m < ∞}{−x_n }≤||(x_n )||_∞ . Es decir |L(x)|≤||(x_n )||_∞ y por lo tanto ||L|| ≤1. Como −L(x)≤P(−x), entonces −P(−x)≤L(x)≤P(x) Finalmente si x=(1,1,...), de lo anterior se deduce que L(1,1,...)=1, lo que prueba lo afirmado.

(2) L(x₁,x₂ ,x₃ ,...)= L(x₂ ,x₃ ,...), para todo (x_n )∈Rel_∞ (Z⁺)

Sean x=(x₁,x₂ ,x₃ ,...), y=(x₂,x₃,x₄,...). Sea f==(1 ,2 ,...,n ) , luego

1/nΣ_i=1 ⁿ (x−y)_k+i=1/n(x_k+1−x_k+n+1j ) y como P(x−y)≤P_f (x−y)=1/n(x_k+1−x_k+n+1j ) . al ser n arbitrario, deducimos que P(x−y)≤0. De igual manera P(y−x)≤0 , y al ser L lineal y L(x)≤P(x), deducimos que L(x−y)=0, lo que prueba lo pedido.


(3) lim_— x_m≤L(x)≤lim^— x_m


Sea y(n)=(x_n,x_n+1 ,....). Es claro por probado en (2) que L(x)=L(y(n)) para todo n y como L(y(n))≤sup{x_n,x_n+1 ,....}, se deduce que L(x)≤lim^— x_m. Por otro lado −(L(x))=L(−x)≤sup{−x_n,−x_n+1 ,....} =−inf{x_n,x_n+1 ,....}, luego inf{x_n,x_n+1 ,....}≤L(x) de lo que se deduce que lim_— x_m≤L(x).


(4) Si (x_m )⊂ R es convergente en R, entonces L(x)=lim_m→∞ x_m

Es una aplicación inmediata de (3).

---

---

Ahora consideremos el espacio de Banach complejo l_∞ (Z⁺)={(x_n )⊂ C: ||(x_n )||_∞ <∞}.

Se dice que un operador lineal acotado L: l_∞ (Z⁺)→C es un límite en l_∞ (Z⁺). si cumple las propiedades:

(1) L(x₁,x₂ ,x₃ ,...)= L(x₂ ,x₃ ,...), para todo (x_n )∈l_∞ (Z⁺)

(2) lim_— x_m≤L(x)≤lim^— x_m, para todo (x_n )∈l_∞ (Z⁺)

(3) Si (x_m )⊂ C es convergente en C, entonces L(x)=lim_m→∞ x_m

Vamos a demostrar que existen límites de Banach en l_∞ (Z⁺).

---

---

Sea L₁ un límite de Banach en Rel_∞ (Z⁺) y definamos el operador lineal L:l_∞ (Z⁺)→C , mediante L(x)=L₁ (Rex)+iL₁ (Imx), para todo (x_n )∈l_∞ (Z⁺). Es fácil demostrar que L tiene todas las propiedades exigidas.

^{UNA APLICACIÓN DE LOS LÍMITES DE BANACH}

Sea X un espacio de Banach complejo y T:X→X un operador acotado.

Se dice que T es acotado por potencias, si existe β >0, tal que ||Tⁿ||≤β, para toda potencia no negativa n del operador.

Recordemos que el espectro del operador cotado T, es el subconjunto de los números complejos σ(T)={λ ∈C: T−λI es un operador no invertible}. Dos particulares subconjuntos del espectro σ(T), serán de nuestro interés. Primero el espectro puntual o de sus valores propios, definido por σ_p(T)={λ ∈C: ker(T−λI)≠0 } y el espectro continuo dado por σ_c(T)={λ ∈C: ((T−λI)(X)) ^—=X y T−λI es inyectiva }.

Un operador acotado T:X→X se dice lleno, si para cada subespacio M invariante para T (es decir T(M)⊆M), entonces T(M)) ^—=M. Note que ser T un operador lleno, es lo mismo que decir que 0∈σ_c(T|M), donde T|M es el operador T restringido a M.

Si T:X→X es un operador acota y X ^* es el espacio dual de X, entonces el operador adjunto T´:X ^*→ X ^*, se define por T´(f)=f◦T, para toda funcional lineal continua f. El siguiente resultado es fundamental:

---

Sea T:X→X acotado por potencias y supongamos que existan f∈X ^* y x ₀∈X, tales que

f(T( ⁿx ₀))→α≠0, entonces T´ tiene un punto fijo.

---

Para demostrar lo anterior, observe que ( f(T( ⁿx))∈l_∞ (Z⁺) para cada x∈l_∞ (Z⁺). Si L es un límite de Banach para l_∞ (Z⁺), entonces


θ(x)=L(f(T ⁿ(x)) es un funcional lineal continuo no nulo, ya que θ(x ₀)≠0, y como θ(T(x))=θ(x), para todo x, se deduce que T´(θ)=θ.

---

---

Si suponemos además que X es un espacio de Banach reflexivo, entonces T tiene un punto fijo, si y sólo si, T´ tiene un punto fijo.

Para ver el directo, supongamos que T(x ₀)=x ₀ para algún x ₀≠0, luego T ⁿ(x ₀)=x ₀ y por el teorema de Hahn-Banach , existe un funcional lineal continuo y unitario f, tal que f(x ₀)≠0, luego f((T ⁿ(x ₀)=f(x ₀))→f(x ₀)≠0. Aplicando el resultado anterior, se deduce el directo. El recíproco sale usando la propiedad de reflexividad del espacio de Banach X.

---

---

Si T es un operador acotado por potencias , tal que el operador adjunto T´no tiene valores propios de valor absoluto uno, entonces T−λI es un operador lleno, para cada número complejo λ con |λ|=1.

Supongamos que T−λI no es lleno y sin pérdida de generalidad que λ=1. Sea M invariante para T−λI, tal que ((T−λI)M) ^— ⊂M, donde la inclusión es estricta. Es claro que M es también invariante para T. Por el teorema de Hahn-Banach, existen x ₀∈M y un funcional lineal continuo f, tales que f(x ₀)≠0 y f((T−I)M)=0. Veamos que f(T ⁿ(x ₀)= f(x ₀). El resultado es cierto para n=1. Si vale para n, como T ⁿ(x ₀)∈M, se deduce que f((T−I)T ⁿ(x ₀))=0. Es decir f(T ⁿ⁺¹(x ₀))=f(T ⁿ(x ₀)= f(x ₀), Esto dice que f(T ⁿ(x ₀) →f(x ₀)≠0 y aplicando un resultado anterior, deducimos que 1 es un valor propio de T, lo que es contradictorio.

---

---

El siguiente es nuestro resultado principal:

Sea T:X→X un operador acotado tal que X es de Banach reflexivo y T ⁿ→0 débilmente, es decir f(T ⁿ(x))→0 para toda funcional lineal continua f y σ_c(T) no tiene puntos de valor absoluto uno, entonces el radio espectral r(T) de T es menor que uno.

Para demostrarlo, observemos primero que, si T ⁿ→0 débilmente, entonces sup{ ||T ⁿ||}=α<∞. De lo que se deduce que ||T ⁿ||≤α, es decir T es acotado por potencias y como ||T ⁿ|| ^1/n≤α ^1/n, pasando al límite en n, deducimos que r(T)=lim_n→∞||T ⁿ|| ^1/n=r(T)≤1. Veamos que si |λ |=1, entonces T−λI es inyectivo. En efecto, si (T−λI))x=0, entonces T(x)=λx, luego T ⁿ(x)=λ ⁿx. Si x≠0, existe un funcional lineal continuo f no nulo, tal que f(x)≠0, luego f(T ⁿ(x))→0 y por lo tanto |λ| ⁿ→0, lo que es contradictorio. Por ser X de Banach reflexivo, T´ ⁿ→0 débilmente y por un razonamiento similar al anterior, el adjunto T´no tiene valores propios de módulo uno. Apicando un resultado anterior, deducimos que T−λI es lleno y por lo tanto ((T−λI)X) ^—=X. Esto dice que λ pertenece al espectro continuo σ_c(T), lo que es contradictorio.

^FUENTES

Jaime Bravo (1988): Análisis Funcional con aplicaciones a la teoría de operadores, Universidad del Zulia, Maracaibo.


Carlos S. Kubrusly (2003): Hilbert Space Operators. Birhauser. Berlin.


Edixo Rosales y Klarys Fereira (2016) : Estabilidad y regularidad de operadores. Boletín de la Asociación Venezolana de Matemáticas. Caracas.