¿Se ha preguntado usted porqué las distancias entre los trastes de una guitarra son diferentes?, la respuesta está en cómo percibimos los diferentes sonidos.

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       En música entendemos a la escala como una sucesión ordenada ascendente o descendente de notas musicales, las cuales no siempre se encuentran a la misma distancia, pero así lo percibimos gracias a la influencia de la música modal y tonal que escuchamos diariamente.

       En una escala heptatónica por ejemplo, siendo la más común, se manifiestan dos tipos de distancias entre notas, el tono y el semitono, encontrando generalmente una distribución de siete notas, más la primera que se repite al siguiente extremo, separadas por cinco tonos y dos semitonos, construyendo así la escala diatónica mayor.

       Al escuchar dicha escala musical puede parecer que todos los sonidos se encuentran a una misma distancia, pero si el lector presta suficiente atención notará que entre la tercera y la cuarta nota (Mi - Fa), además de la séptima y la octava (Si - Do), el cambio de los sonidos es más sutil, es decir más corto.

       Este tipo de distribución permite una sensación espacial dentro de la música, dándole vida a lo que se conoce como tonalidad, que no es más que un punto central gravitacional, en el ejemplo anterior ese centro tonal sería Do, pues el resto de las notas musicales parecen acercarse a él.

       Sacrificando dicha sensación de tonalidad, se puede crear una distribución donde todos los sonidos se encuentren exactamente a la misma distancia, por ejemplo a razón de semitonos, para así conformar lo que se conoce como escala cromática.

       Como se puede apreciar, dicha escala carece de un centro tonal, pero al escuchar se percibe que todas las notas musicales se encuentran a la misma distancia. Es decir, se distingue un cambio uniforme y constante entre cada sonido.

       Progresión geométrica y aritmética de las notas musicales.

       Sabiendo que una progresión o sucesión, es un conjunto ordenado de elementos: de forma aritmética cada uno de ellos es el resultado de la suma del anterior con un número o diferencia, mientras que en la forma geométrica cada uno es el resultado de la multiplicación del anterior por una constante o razón. Dicho de otra forma, en una progresión geométrica la distancia entre los elementos va incrementando o disminuyendo, mientras que en la sucesión aritmética la distancia siempre es la misma.

       Lo interesante de las notas musicales es que mientras se percibe o se oye una progresión aritmética en la sucesión de semitonos, estudiando las frecuencias de cada nota se obtiene que estas aumentan de forma geométrica, tal como se puede observar en el siguiente cuadro, el cual muestra la frecuencia aproximada y simplificada de cada una de las notas dispuestas en una escala cromática, es decir a semitonos (ST).

       Musicalmente la diferencia entre una nota y otra siempre es a razón de un semitono (ST), pero acústicamente la distancia entre las frecuencias de los sonidos se va incrementando en la medida que se progresa en la escala. Como muestra la imagen anterior, la distancia entre el Do y el Do# del principio de la escala es de 16 Hz, dicha distancia va incrementando hasta llegar al siguiente Do y Do#, de la octava superior cuyas frecuencias están a una distancia es de 31 Hz. Es una diferencia bastante grande si se considera que al oírlas se percibe la misma relación entre notas.

       En el siguiente ensayo se compara los diferentes sonidos y frecuencias entre el Do3 y el Do3#, además de las de tres octavas por encima, es decir las de el Do6 y el Do6#.

       Se puede escuchar una misma sensación de cambio en el Do3 vs el Do3# y en el Do6 vs Do6#, el cual es de medio tono en ambos casos. Sin embargo la diferencia de frecuencias para el primer momento es de 8 Hz mientras que en el segundo es de 62 Hz. Todo esto demuestra que el oído humano es más sensible a variaciones de bajas frecuencias y menos para frecuencias más altas.

       ¿A qué se debe este fenómeno?

       El primero en establecer un planteamiento acerca de la percepción de los estímulos en los seres humanos fue Ernst Heinrich Weber (1795-1878) quien dijo que: "al observar la disparidad entre las cosas que se comparan, no percibimos la diferencia entre las cosas, pero la razón de esta diferencia en la magnitud de las cosas comparadas", de tal manera que Weber estableció una relación matemática entre la intensidad de un estímulo y la sensación captada por el hombre, dándole valor a la psicofísica como disciplina científica. Seguidamente Gustav Theodor Fechner (1801 -1887) hizo su aporte dándole vida a lo que actualmente se conoce como la ley de Weber-Fechhner la cual afirma que "si un estímulo crece en progresión geométrica, la percepción evolucionará en progresión aritmética."

       A excepción de la percepción del calor, esta regla general se establece en diversas magnitudes como el peso, la velocidad, el volumen, entre otros. Es usualmente visto que se haga entender dicha norma relacionándola con la masa, es decir, si se sostiene un cuerpo con un peso de un kilogramo, se podrá notar la diferencia si a este se le quita o se le agregan cien gramos, pero si a un cuerpo de diez kilos se le agregan o se le sustraen los mismos cien gramos, esto no sería perceptible, haría falta agregar o quitar un kilogramo a dicho peso para que se pueda percibir la diferencia.

       Aplicado al anterior ensayo con las notas musicales, se puede afirmar que una nota con una frecuencia de 130 Hz se puede alterar en 8 Hz, logrando un cambio de semitono, sin embargo aplicando la misma deformación de 8 Hz a una nota de 1047 Hz, no sería suficiente para lograr dicho intervalo, a esta altura harían falta al menos 62 Hz para lograr una alteración de semitono.

       Volviendo a Feshner, se establece entonces como regla de cambio relativo de sensación, que la percepción producida a partir de un estímulo es directamente proporcional a la variación absoluta producida, e inversamente proporcional al valor inicial del estímulo:

       Integrando dicha ecuación se obtiene la formula logarítmica que establece la ley de Weber-Fechhner:

       Donde R0 es el nivel de estímulo por debajo del cual no se percibe sensación alguna.

       Esta ecuación matemática establece una relación logarítmica entre las diversas variaciones de estímulos y las sensaciones producidas, lo que resulta en una progresión geométrica en las primeras y sucesiones aritméticas en las segundas.

       Así como en las variaciones de frecuencia, la sensación del volumen o intensidad del sonido también obedece a la Ley de Weber-Fechhner, se cree que las funciones naturales de esta percepción logarítmica, donde los estímulos débiles son incrementados y los muy elevados son atenuados, son de protección de la audición. Por otro lado, se ha encontrado que dicha norma se encuentra presente en los tipos de percepciones con rangos de valores muy amplios, pues en el caso del sonido, el oído humano puede percibir desde 16 Hz hasta 20000Hz aproximadamente para las diferentes alturas de sonido y desde 0.00002 N/m2 hasta 200 N/m2 para las variaciones de volumen.

       Respondiendo a la pregunta inicial del presente artículo, la razón por la cual las distancias entre los trastes de una guitarra son diferentes, es porque siendo una progresión aritmética la que se percibe al pulsar una cuerda de forma sucesiva sobre los diferentes trastes (en semitonos), la variación real de la longitud de cuerda deberá ser en progresión geométrica. Tal como reza la Ley de Weber-Fechhner.

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       Esperando que el presente artículo haya sido de mucho provecho y agrado para todos los lectores, me despido agradeciéndoles por su apoyo y deseándoles un camino de lecturas nutritivas dentro del mundo Steemit.

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       Lecturas recomendadas

Percepción del sonido

Altura tonal, intervalos y volumen sonoro

Ley de Weber-Fechhner

INFORMATION,SENSATION,and PERCEPTION

Escala logarítmica de frecuencia

Percepción Logarítmica de Intervalos Musicales

La matemática de la música - la ubicación de los trastes